Prendendo due assiomi differenti si fa ancora matematica

Gli assiomi: perché la matematica è un’opinione. La parola “assioma” deriva direttamente dal greco antico, dove aveva significato di “ciò che è richiesto”. Infatti, ogni sistema logico o matematico richiede degli assiomi affinché possa esistere in maniera sensata. Nella logica, abbiamo proposizioni che sappiamo essere “vere” e dalle quali vorremmo dedurre altre proposizioni in maniera razionale. Senza scomodare i massimi sistemi (per ora!) possiamo fare un esempio banalissimo. Sapendo che la proposizione “sta piovendo” è vera, si può dedurre che anche la proposizione “la strada è bagnata” sia vera, seppure questa non sia stata ancora vista di persona.

La logica trova la sua piena applicazione nella matematica e la geometria. A differenza dell’esempio con la pioggia, queste sono collezioni di idee astratte che esistono solamente nel pensiero. Trovano applicazione nello spiegare il mondo reale, ma non bisogna confondere l’applicazione con l’astrazione. Dunque, in che maniera possiamo ritenere che una proposizione che esiste solo nella nostra mente sia vera, o meno? A partire da una prima proposizione “vera” potremmo dimostrare la correttezza di una seconda, di una terza e così via. Ma chi ci dice che il punto di partenza era giusto? Qui entrano in gioco gli assiomi. Essi sono la base. Sono proposizioni che accettiamo come “vere” senza poterne dimostrare la verità, o la falsità.

POSTULARE, METTERSI D’ACCORDO – Oggi la parola “postulato” è un sinonimo di assioma. Nel suo significato antico era una richiesta, da parte di un pensatore ad un altro, di mettersi d’accordo sulla veridicità di alcune idee, seppur queste fossero indimostrabili. Un esempio famoso è “tra due punti distinti si può sempre disegnare una retta che passa per entrambi”. Seppure l’esperienza ci dice che sia un’idea ragionevole, la geometria si pone l’obiettivo di astrarsi dall’esperienza per raggiungere l’universalità. Avete provato tutti i punti di tutti gli universi immaginabili e avete scoperto che si può sempre disegnare tale retta? No. Allora non potete essere sicuri della verità della proposizione. Tuttavia supponiamo, cioè postuliamo, che sia sempre possibile. Ci fidiamo.

Un postulato, o assioma, era dunque per i primi pensatori greci un’idea indimostrabile ma molto ragionevole, ovvia, sulla quale i pensatori si mettevano d’accordo. A partire da ciò cercavano di dimostrare il resto della geometria o della matematica. Uno dei libri più influenti della storia è gli Elementi di Euclide, scritto tra il IV ed il III secolo a.C.. In esso Euclide propone cinque postulati di geometria elementare che sembrano evidenti ma indimostrabili. A partire da essi si dimostra tutta la geometria del piano, incluso il famoso teorema di Pitagora. Il teorema di Pitagora è vero? Lo è se sono veri i postulati di Euclide. Se ci fidiamo di essi, allora siamo sicuri anche del teorema di Pitagora.

ASSIOMI INDIPENDENTI E NON CONTRADDITTORI – A cavallo tra l’800 e il ‘900 ci si pose il problema di formalizzare gli assiomi della matematica. Di fatto, fino ad allora, essa era studiata senza porre troppa attenzione a quali fossero gli elementi fondanti. Ma una matematica seria richiede degli assiomi seri.

Non è facile scegliere gli assiomi per un sistema logico-matematico. Proprio in quegli anni vi fu il caso del paradosso di Russell. Bertrand Russell dimostrò che gli assiomi della matematica supposti allora portavano a deduzioni contraddittorie. Se gli assiomi portano a una contraddizione logica, non possono essere veri in partenza, almeno non tutti. In un episodio che rimase famoso, scrisse della sua scoperta a Gottlob Frege poco prima che questi pubblicasse la sua opera Fondamenti di aritmetica, la quale sviluppava la matematica a partire da questi assiomi sbagliati. Poté solamente aggiungere in appendice:

«Niente di più sfortunato può accadere ad uno scrittore scientifico che vedere una delle sue fondamenta crollare dopo che il lavoro è finito. Questa è la posizione in cui sono stato messo da una lettera del Sig. Bertrand Russell, proprio mentre la stampa di questo volume arrivava alla fine.»

Gli assiomi devono essere scelti con cura. Da essi non si devono poter dedurre proposizioni che li contraddicono, devono essere auto-consistenti. Questo è l’unico modo in cui potremmo dire che essi siano sicuramente ed inopinabilmente falsi (ma non potremmo mai dire che sono sicuramente veri!). È facile a dirsi ma non a farsi perché la contraddizione potrebbe scoprirsi solo dopo decenni di studi, come nel caso di Russell. Inoltre si vorrebbe che tutti gli assiomi siano logicamente indipendenti tra loro. Con questo vogliamo dire che se uno degli assiomi si potesse dimostrare come conseguenza degli altri, non sarebbe più un assioma, perché non servirebbe più la cieca fiducia in esso.

Nella visione moderna, non è necessario che gli assiomi siano evidenti a tutti, ma che soddisfino questi criteri di indipendenza e non contraddizione. Come diceva Euclide, si postulano i punti di partenza. Se siamo d’accordo su quali siano gli assiomi, deduciamo il resto della matematica e geometria come conseguenza di essi.

ASSIOMA DELLA SCELTA – … Ma non tutti i matematici sono d’accordo! Dopo il paradosso di Russell gli assiomi della matematica vennero sviluppati nuovamente e si raggiunse la forma odierna della materia. Oggi questi assiomi, detti di Zermelo-Fraenkel, i due matematici che li studiarono, sono le basi della matematica moderna. Sono complicati e non entriamo nei dettagli. Se accettiamo gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, allora accettiamo, ci fidiamo, della correttezza di tutta la matematica.

Per dimostrare tante idee interessanti in matematica è necessario un ulteriore assioma che Zermelo e Fraenkel non avevano inizialmente incluso. Questo è l’assioma della scelta. Immaginate di avere cinque paia di scarpe e, per ogni paio, dovete scegliere una scarpa. Con un numero non infinito di paia potete sicuramente mettervi a scegliere uno per uno. E se aveste infinite paia? Forse non potreste scegliere infinite volte uno per uno, ma potreste spiegare come effettuereste la scelta in generale, ad esempio scegliendo sempre la scarpa di destra. E se, invece di scarpe, aveste calzini che sono uguali fra il destro ed il sinistro? Non potreste spiegare come comportarvi in generale. Domanda: è possibile scegliere infinite volte tra calzini uguali? Se pensate sia ragionevole e vi fidate, credete nell’assioma della scelta. Ma potete anche rifiutarvi di accettare che ciò sia possibile.

Alcuni matematici sono scettici nell’accettare l’assioma della scelta. Il motivo è che da questo si possono derivare proposizioni strane come il famoso paradosso di Banach-Tarski. Questo teorema, che poggia proprio sull’assioma della scelta, dice che è possibile prendere una sfera, decomporla in alcuni pezzi e ricomporre i pezzi per formare due sfere identiche alla prima! Sembra veramente contro-intuitivo che questa sia una cosa corretta. Se troviamo irragionevole la conseguenza dell’assioma della scelta, dobbiamo ritenere che l’assioma stesso non sia ragionevole. Va detto che i pezzi in cui si decompone la sfera non si possono realizzare nella vita reale. Questo perché effettuare la suddivisione, secondo il teorema, richiede un numero infinito di scelte sul come fare.

LA MATEMATICA È UN’OPINIONE – È una frase provocatoria, chiaramente. Una volta decisi gli assiomi, non si può opinare sulla validità delle conseguenze dedotte logicamente. L’opinione che si può avere è su quali assiomi scegliere come validi. Per opinare bisogna avere molta dimestichezza con essi, per non fare la fine del povero Frege. La scelta di diversi assiomi, se sono consistenti, non porta a fare una matematica sbagliata, ma una matematica diversa!