Una funzione per crackare la criptografia

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Congettura di Riemann, forse c’è la dimostrazione! Forse uno dei problemi matematici più difficili al mondo ha una soluzione. Parliamo della congettura di Riemann, postulata nel 1859 e fino ad oggi senza una soluzione. Ad annunciare la svolta è stato sir Michael Atiyah, un matematico di grande fama, Medaglia Fields nel 1966 (considerata il Nobel della Matematica), e titolare di molti altri prestigiosi riconoscimenti accademici nel corso della sua lunga carriera (oggi ha 89 anni).

L’annuncio è arrivato al convegno Heidelberg Laureate Forum e si è svolto in meno di un’ora: pochissimo per sciogliere un nodo inestricabile da più di 150 anni. Il segreto del professore Atiyah sta nel fatto che la sua dimostrazione è molto semplice, e come spesso accade, è stata quasi accidentale. Al momento è troppo presto per gridare vittoria, bisognerà verificare che la dimostrazione effettivamente sia quella corretta, e ci vorrà del tempo.

Nell’attesa cerchiamo di capire che cos’è esattamente la congettura di Riemann, una congettura difficile da spiegare e che riguarda una funzione, detta funzione zeta di Riemann, usualmente indicata con la lettera greca zeta . Si tratta di una funzione che associa ad ogni numero complesso un numero complesso . Per non è definita, diverge. Ma come è fatta questa funzione?

Abel Lecture: Michael Atiyah. Crediti BRUNO DE LIMA/ R2 / ICM 2018, via Flickr
Abel Lecture: Michael Atiyah. Crediti BRUNO DE LIMA/ R2 / ICM 2018, via Flickr

Dapprima la si definisce per valori di reali e maggiori di 1 come segue:

È la somma di infiniti termini, ma per chi conosce le basi dell’analisi matematica non è difficile dimostrare che questi termini si sommano per dare un numero finito positivo quando (mentre diverge se ). In realtà si può dimostrare che per ottenere un numero finito non è necessario considerare reale, lo possiamo anche prendere complesso, purché la sua parte reale sia più grande di 1:

Ma ancora non basta. Abbiamo detto che tale funzione è definita ovunque tranne che in 1 e non solo in un semipiano come abbiamo fatto ora. Il resto della costruzione è però piuttosto complicato per poterlo raccontare in dettaglio qui. Ci accontentiamo di dire che si può dimostrare che la funzione è completamente determinata dappertutto, tranne che in 1, una volta che sia stata definita come sopra nella regione , basta solamente chiedere che ovunque (sempre escludendo 1) la funzione ammetta derivata prima e coincida con le somme sopra definite nelle suddette regioni.

Il bello è che di questa funzione, definita in modo tanto complicato, si riescono a calcolare i valori in parecchi punti e anche a trovarne numerose proprietà. In particolare è interessante calcolarne i valori in punti dell’asse reale dove , cioè dove le somme scritte sopra non hanno più senso. Si trova ad esempio che

Alcuni lettori forse ricorderanno che lo scorso anno fu pubblicato un numero (tutto sommato) in cui si mostravano a somme in realtà divergenti si potessero associare numeri finiti. Li invitiamo a confrontare i risultati dello scorso articolo con i valori qui sopra indicati per la funzione .

Osserviamo che l’espressione ci sta dicendo che la funzione di Riemann si annulla per tutti i numeri pari negativi. Si dice che tali numeri, i pari negativi, sono degli zeri della funzione zeta, e, in particolare, sono detti gli zeri banali della funzione di Riemann. Si può dimostrare che sull’asse reale non ce ne sono altri. Ma non è che possono esistere degli zeri complessi che hanno una parte immaginaria diversa da zero?

È a questo punto che entra in gioco la congettura formulata nel 1859 dal grande matematico tedesco Bernhard Riemann:

congettura: gli zeri non banali della funzione sono tutti della forma , con non nullo.

In altre parole, se Riemann dovesse aver ragione, tutti gli zeri che non sono reali devono avere parte reale pari a . Tale congettura rappresenta una sfida tenace che diversi grandi matematici hanno affrontato nel tentativo di dimostrarla ma ancora resiste. La fiducia nella validità di tale congettura è talmente forte nella comunità scientifica che quasi sempre viene indicata con il termine di ipotesi di Riemann (anziché congettura) e viene usata per trarne molte altre conseguenze, assumendo che essa sia valida. Ma chi dovesse riuscire a dimostrarne la validità (o a smentirla) certamente ne guadagnerebbe una fama durevole, accompagnando il proprio nome a quello del grande Riemann.

Ma perché darsi tanta pena per sapere dove si trovano questi zeri? Perché dovrebbe essere così importante risolvere questa specie di gioco matematico che nemmeno si riesce a formulare in maniera chiara e semplice? La risposta sta nel fatto che

questa funzione contiene dei segreti preziosissimi di cui già Eulero, prima di Riemann, si era accorto che la somma infinita che definisce la funzione zeta può essere riscritta come un prodotto infinito nel seguente modo:

dove il prodotto è calcolato su tutti i numeri primi. Il fatto è che noi non conosciamo quali siano tutti i numeri primi. La ricerca di numeri primi sempre più grandi è un processo continuo, di enorme importanza, perché su di essi si basa buona parte della crittografia e quindi della protezione dati, la sicurezza e la difesa contro i pirati informatici. Conoscere la posizione di tutti gli zeri della funzione di Riemann equivarrebbe in sostanza ad avere accesso a tutti i numeri primi.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell’Università dell’Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica.

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