Un italiano vince il premio “nobel” per la matematica

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Il trasporto ottimale, Didone e il meteo: ecco perché Figalli ha vinto la medaglia Fields. Dalle disuguaglianze isoperimetriche alle equazioni semigeostrofiche, fino al calcolo delle probabilità e i problemi a frontiera libera: viaggio negli studi matematici che hanno garantito al professore italiano di ottenere il più importante premio matematico al mondo.

Si può dire che gli studi che hanno portato Alessio Figalli a vincere la medaglia Fields, il premio Nobel per la matematica, hanno radici storiche e anche – andando più indietro – mitologiche. Sembra una contraddizione, ma in un mondo in continua evoluzione, con una matematica così avanzata da essere difficilmente semplificabile per i non addetti ai lavori, per capire cosa ha ottenuto la nostra seconda medaglia Fields (44 anni dopo quella vinta da Bombieri) dobbiamo concentrarci, armarci di un po’ di pazienza e andare indietro nel tempo.

Il problema del trasporto ottimale infatti è vecchio di oltre due secoli: risale al periodo della Rivoluzione francese e poi a quello napoleonico, quando Gaspard Monge affrontò la questione (prettamente militare) di trasportare materiali per costruire fortificazioni dal luogo di scavo a quello di utilizzo. Al di là delle complicazioni nel mondo reale, in matematica le cose non sono semplici: andava prima dimostrato che una soluzione ottimale a quel problema esistesse.

La matematica può sembrare lontana, astratta, ma tutto deve essere in ordine. Non si può costruire qualcosa se le fondamenta non sono solide, come abbiamo imparato tutti a scuola, quando si studiavano i primi teoremi.

La matematica che ha portato Figalli al ‘Nobel’ per la matematica è ovviamente molto, ma molto più complessa di quei teoremi, e anche dei primi studi di Monge. Altra tappa importante per lo studio del trasporto ottimale sono stati gli studi, negli anni ’40, di Leonid Kantorovich. Quegli studi matematici ebbero applicazioni economiche tali da fargli vincere il Nobel per l’economia (che a dirla tutta non è nemmeno uno dei 5 premi Nobel originari) nel 1975 .

“Negli anni ’80 – spiega Figalli – c’è stato un vero boom di studi sul trasporto ottimale, da un punto di vista molto matematico. Si è scoperto in quegli anni che il trasporto ottimale aveva connessioni con tante altre aree della matematica. Io ho applicato tecniche del trasporto ottimale ad altri problemi”.

· COSA SONO LE DISUGUAGLIANZE ISOPERIMETRICHE (E COSA C’ENTRA DIDONE)
Uno di questi è il problema delle disuguaglianze isoperimetriche, questione che ha radici antichissime, addirittura nella mitologia. Didone, la mitica regina scappata da Tiro per sfuggire a suo fratello che ne aveva ucciso il marito, arriva nell’attuale Tunisia e chiede a re Iarba di donarle della terra per fondare una città: Cartagine. Il re gli promette tanta terra quanta ne potesse contenere una pelle di bue. Didone taglia la pelle a striscioline, le lega insieme e crea un semicerchio lungo la costa grande abbastanza da contenere la futura città.

Spiega Figalli: “Didone non ha fatto altro che risolvere il problema matematico di massimizzare l’area dato un perimetro. Il semicerchio, infatti, per un territorio lungo una costa, è la forma che massimizza la superficie. Oppure, senza il vincolo costiero, la soluzione è il cerchio”.

Fino a qui ci siete? Bene. Ma siamo solo all’inizio. Ora passiamo dalle due alle tre dimensioni. Per trovare la soluzione al problema isoperimetrico nello spazio dobbiamo prendere una superficie che racchiude un certo volume. “Questo problema si può affrontare in due modi – continua Figalli – o mantieni fissa l’area e massimizzi il volume che sta dentro oppure fissi il volume e minimizzi la superficie”.

Per capirlo meglio prendiamo le bolle di sapone. Quando tu fai una bolla, quella cresce e poi si sigilla, iniziando a fluttuare. A quel punto il volume (la quantità di aria) al suo interno è fisso e la bolla diventa sferica. Come il semicerchio è la soluzione ottimale per un’area lungo la costa, la sfera è la forma ideale nelle tre dimensioni.

Esistono poi dei modelli matematici per studiare l’energia superficiale dei cristalli, che hanno forme ben diverse dalle bolle di sapone. Ma il principio fisico è lo stesso: minimizzano la tensione superficiale. Quindi – da un punto di vista matematico – il problema delle bolle di sapone o dei cristalli è molto simile.

“Cambiano solo un po’ le formule”, continua Figalli, che però rallenta la spiegazione: sa anche lui che ci stiamo avventurando in un territorio più complesso. Siamo però finalmente arrivati al nocciolo della questione. “Io e miei collaboratori – conclude Figalli – ci siamo posti e abbiamo risolto il seguente problema: se io agisco con una forza esterna su una bolla di sapone o su un cristallo, si può stimare quanto la forma è stabile rispetto a perturbazioni esterne?”.

Questo è stato uno dei contributi di Figalli: studi matematici per trovare la stima ottimale dell’energia necessaria per deformare un cristallo (o una bolla di sapone), applicando tecniche derivate dagli studi sul trasporto ottimale. Per quanto siano risultati di natura molto astratta, queste ricerche hanno applicazioni in chimica e nelle scienze dei materiali.

· COSA SONO LE EQUAZIONI SEMIGEOSTROFICHE: METEO, NUVOLE E PREVISIONI
Le equazioni semigeostrofiche sono equazioni che vengono dalla meteorologia e sono usate per studiare i movimenti dei fronti atmosferici a grandi scale.

Spiega Figalli: “Tutte le equazioni della meteorologia e della fluidodinamica sono molto difficili da studiare, perché sono molto instabili. Quello delle previsioni del tempo è un campo difficile. Ma un meteorologo degli anni ’90 aveva notato, studiando le semigeostrofiche, che nel movimento delle nuvole c’è del trasporto ottimale”. Dove? Nelle singole particelle che compongono una nuvola.

Immaginiamo quindi di fotografare la posizione delle singole particelle di una nuvola e di fotografarle di nuovo, un secondo dopo. A quel punto il problema è capire dove è finita ogni singola particella, ovvero riuscire a sapere ogni particella che percorso ha fatto. Eccolo, il trasporto ottimale: per rispondere alla domanda bisogna minimizzare l’energia (il ‘costo’ del trasporto) dello spostamento di ogni singola particella.

Quindi le nuvole applicano alle loro particelle le regole del trasporto ottimale. “Con questa interpretazione – continua Figalli – si può avere una comprensione molto maggiore delle equazioni semigeostrofiche”, ovvero delle regole della meteorologia. Ma una cosa è spiegare il concetto o usarlo in maniera empirica; cosa ben diversa dimostrare matematicamente che le formule del trasposto ottimale si applicano alle equazioni semigeostrofiche. E questo è ciò che ha ottenuto Figalli.

· IL TRASPORTO OTTIMALE E LE PROBABILITÀ
Terzo ambito in cui Figalli ha usato le tecniche del trasporto ottimale per ottenere risultati è quello del calcolo delle probabilità, in particolare sulle cosiddette “matrici aleatorie”.

“Le matrici aleatore – spiega ancora – sono un argomento di ricerca in probabilità che ha applicazioni molto importanti in varie aree. Tra queste ci sono la fisica nucleare e le neuroscienze”.

Esempi concreti di uso delle matrici aleatorie sono la modellizzazione dei nuclei degli atomi pesanti e i modelli di connessioni sinaptiche tra i neuroni del cervello.

· COSA SONO I PROBLEMI A FRONTIERA LIBERA
Non collegato al tema del trasporto ottimale, c’è un altro contributo che ha garantito a Figalli la medaglia Fields: i lavori sui problemi a frontiera libera (temi a cui sta ancora lavorando).

Uno di questi è il problema dell’ostacolo, ‘the obstacle problem’. Per fortuna anche in questo caso c’è qualcosa che possiamo visualizzare per capirne di più. Prendiamo una membrana elastica e una palla, e poi avviciniamo la membrana fino a quando non tocca la palla – che fa da ostacolo – e la membrana inizia a deformarsi. Quindi ci saranno alcuni punti della membrana che sono a contatto con la palla e altri che non lo sono: “La domanda è se si riesce a capire com’è la zona di contatto e che forma prende. Questo problema è interessante perché ci sono applicazioni ingegneristiche rilevanti”.

Il problema a ostacolo? Risolto. Ma la ricerca non si ferma qui: “Ora ci stiamo occupando di una sua evoluzione, conosciuta come problema di Stefan”, va avanti Figalli. Come esemplificazione possiamo dire che si tratta dello studio matematico di come si evolve la superficie di contatto tra acqua e ghiaccio, via via che il ghiaccio si scioglie. “Da un punto di vista matematico è un problema analogo a quello della membrana, a cui si aggiunge una variabile temporale”.

Sia quello dell’ostacolo che quello di Stefan fanno parte di una metafamiglia di problemi, quella dei ‘free boundary’ (a frontiera libera appunto): si tratta di modelli ed equazioni che ritornano nello studio dei fluidi, nelle transizioni di fase, nelle membrane elastiche naturalmente e nell’elettrochimica.

“C’è una storia divertente legata ai problemi di free boundary – racconta Figalli, come conclusione di questo viaggio che da Didone ci ha portato al ghiaccio che si scioglie – ed è quello di una matematica russa che fu arrestata dalla polizia dell’Unione Sovietica perché voleva fare ricerca sulla frontiera libera. Ci ha messo un po’ a spiegare e a far capire che il muro di Berlino e la libertà di circolazione non c’entravano nulla”. Una lezione importante, per chi dice che la matematica non ha contatti con la realtà.

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