Formula del principio di indeterminazione di Heisenberg

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Come si arriva alla formula del principio di indeterminazione di Heisenberg? Matematicamente come posso ottenere questa formula: ΔxΔ(mv)= h/4π? Il concetto credo sia abbastanza chiaro, il punto è che non so come si ricavi questa disequazione.

Le relazioni di indeterminazione, dovute al fisico tedesco Werner Heisenberg, rappresentano una soluzione creativa ad una serie di paradossi nati durante i primi sviluppi della teoria quantistica nei primi del ‘900 .

Grazie a questa fondamentale scoperta, numerosi e notevoli sono stati i successi nell’interpretazione dei fenomeni atomici, nella comprensione teorica e formale della meccanica quantistica , per non parlare degli importanti effetti ricaduti sulle applicazioni tecnologiche odierne (microscopia).

 Werner Karl Heisenberg

Secondo Heisenberg, nella formulazione originaria della cosiddetta meccanica delle matrici (prima versione della moderna teoria dei quanti, sviluppata assieme ai connazionali Max Born e Pascual Jordan), qualsiasi esperimento fisico deve essere espresso nei termini della fisica classica, linguaggio attraverso il quale descriviamo la preparazione di tale esperimento e ne esprimiamo i risultati. Non possiamo e né dovremmo sostituire questi concetti con altri.

Tuttavia, l’applicazione di questi concetti risulta limitata, nella misura quantificata dalle relazioni di indeterminazione. In altre parole, è buona norma tenere presente il campo di applicabilità dei concetti classici quando questi vengono invocati, con la convinzione di non doversi spingere oltre. Questa interpetazione, assieme ad una serie di altri precetti filosofico-concettuali, viene detta interpretazione di Copenaghen ed è  alla base (nella maggioranza dei casi) dell’insegnamento e della comprensione attuale della meccanica quantistica. Esistono ovviamente impostazioni filosofiche differenti alla base di queste disuguaglianze: quella realista-duale, dovuta ad Einstein e de Broglie, per citarne una, considera tali relazioni come mere formule di dispersione, citandole spesso come semplici relazioni di incertezza, svuotandole del pesante concetto limitativo di inconoscibilità propugnato dall’interpretazione dominante. Tuttavia, a prescindere dall’atteggiamento personale con cui le si interpreta, costituiscono senza dubbio alcuno un principio cardine alla base della comprensione dei fenomeni microscopici.Heisenberg_lavagna

Il ragionamento seguito da Heisenberg per ricavarle partiva da un’analisi fenomenologica della dualità onda/corpuscolo e dei processi di misura: considerando una sola dimensione spaziale x, definiamo Δx come distanza caratteristica tra due punti alle opposte estremità di un pacchetto d’onda. In sostanza ∆x è l’errore con cui si conosce la posizione del corpuscolo associato all’onda, del quale si sa soltanto che sarà trovato all’interno del pacchetto d’onda, senza esattamente conoscere dove. Analogamente sia Δp l’incertezza con cui si conosce la quantità di moto p=mv del corpuscolo di massa m e velocità v. Si dimostra che deve valere sempre la seguente relazione:

ΔxΔp≥ℏ/2

dove  e’ la costante di Planck divisa per . Vediamo in breve come. Data una grandezza fisica qualsiasi A, si definisce dispersione la differenza che c’è tra il suo valore e il suo valor medio ⟨A⟩

δA=A-⟨A⟩

Se consideriamo il valor medio del quadrato della dispersione ⟨(δA)2 ⟩=⟨A2 ⟩-⟨A⟩2, questo può essere pensato come l’incertezza sulla grandezza fisica A nella configurazione del sistema fisico che stiamo considerando. Prendiamo adesso un’altra grandezza fisica B e diciamo che vale questa relazione generalizzata (si può dimostrare tramite alcuni strumenti di base del formalismo di Dirac della meccanica quantistica):

⟨(δA)2 ⟩⟨(δB)2 ⟩  ≥  1/4 |(AB-BA)|2 

Applichiamo ora la relazione precedente al caso in cui A e B siano due variabili coniugate come posizione e quantità di moto (ma potrebbero essere anche energia e tempo, ad esempio) lungo una dimensione spaziale: A=x, B=p=px. Introducendo le quantità:

∆x=√⟨(δx)2⟩,    Δp=√⟨(δp)2

e sapendo che, in meccanica quantistica vale la nota relazione xp−px=iℏ, dove i è l’unità immaginaria, sostituendo nella formula generalizzata si ottiene la famosa relazione di indeterminazione tra posizione e impulso sopra citata.

In altre parole non è possibile conoscere simultaneamente con precisione arbitraria la posizione di una particella microscopica e la sua velocità in un dato istante. A partire da questo risultato, vien da sé che, in meccanica quantistica, è necessario abbandonare il concetto di traiettoria classica (l’insieme delle posizioni assunte da una particella in moto nello spazio e nel tempo): se si cerca di determinarne la posizione con certezza (Δx→0), l’impulso diventa completamente indeterminato (Δp→∞) e viceversa.

Bibliografia:

J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley (1994);
W. Heisenberg, The physical principles of the quantum theory, University of Chicago Press (1930);
L. de Broglie, The current interpretation of wave mechanics, Elsevier (1964).

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