Dalla cronaca alla matematica: il caso dell’infermiera killer

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Tra i fatti di cronaca italiani che hanno avuto più risonanza nelle scorse settimane spicca il caso dell’infermiera “killer” di Piombino (LI), accusata in prima istanza di aver ucciso 13 pazienti tramite iniezioni di eparina. Un caso simile, recentemente chiuso con una condannaall’ergastolo, si scoprì nel 2014 a Lugo (RA) dove l’infermiera Daniela Poggiali uccideva i suoi pazienti tramite iniezioni di potassio.

Nel caso di Fausta Bonino, l’infermiera livornese, ci sono stati recentidietro front legati a questioni giudiziarie. Nello specifico, sembrerebbe che le telefonate usate dagli inquirenti come prove contro l’infermiera siano state trascritte male, associando frasi e parole alle persone sbagliate. Le indagini sono ancora in corso e auspichiamo che si faccia presto chiarezza sulla verità. Tuttavia è interessante richiamare un altro caso simile dove al posto delle intercettazioni a rivelarsi fondamentale fu la matematica.

Alla fine degli anni ‘90, in Massachusetts (USA) la giovane infermiera Kristen Gilbert si conquistò lo scherzoso epiteto di “Angelo della Morte”. I suoi colleghi del Veteran’s Administration Hospital (VAH) notarono infatti, che la Gilbert si ritrovava sempre a dare l’allarme in situazioni di codice rosso e di conseguenza era sempre la prima a intervenire. Dopo qualche tempo questi eventi iniziarono a destare sospetti e si cominciò a pensare che fosse la stessa infermiera a provocare la crisi cardiaca dei suoi pazienti per mettersi in mostra con i colleghi.

Nel 1998 l’FBI aprì un fascicolo contro K. Gilbert accusandola di 4 omicidi e 2 tentati omicidi. Gli unici indizi che i giudici e il gran giurì avevano a disposizione erano i sospetti di chi aveva lavorato al suo fianco.

Ma come si fa a decidere se è possibile aprire un’istruttoria nei confronti di qualcuno basandosi solo su dei sospetti? Bastano delle accuse circostanziali per trascinare una persona in tribunale?  È qui che entra in gioco la statistica.

Il giudice federale Michael Ponsor decise di convocare il matematico Stephen Gehlbach, perché eseguisse delle analisi che accertassero un’eventuale connessione tra i decessi e l’infermiera Gilbert. In altri parole Gehlbach doveva dimostrare che le accuse fossero fondate e che si potesse aprire un caso.

I dati da cui partì il matematico sono riassunti in figura e rappresentano il numero di decessi dell’ospedale nei 10 anni dal 1988 fino al 1998, suddivisi per fasce orarie di turno. Nel grafico si nota come tra il ‘90 e il ‘95 sia stato registrato un aumento di decessi. Se consideriamo che la Gilbert fu dipendente dell’ospedale in questione proprio dal 1990 fino alla primavera del 1996 rischiamo di giungere a facili conclusioni partendo da dati che per un buon matematico non sono sufficienti.

La domanda da porsi è questa: “l’aumento delle morti è collegato alla Gilbert o si tratta solo di una variazione legata ad una mera coincidenza?”

La risposta arriva tramite l’impiego di uno degli strumenti più importanti della statistica di base: il test d’ipotesi.

Statistiche dei decessi per turno nell'ospedale della Gilbert: dalle 16 a mezzanotte, per alcuni anni, l'ambiente non sembra sanissimo...
Statistiche dei decessi per turno nell’ospedale della Gilbert: dalle 16 a mezzanotte, per alcuni anni, l’ambiente non sembra sanissimo…

In un test d’ipotesi si confronta l’ipotesi che l’evento da studiare sia del tutto casuale (ipotesi nulla o zero, H0) con un’ipotesi complementare o alternativa H1. Nel caso della Gilbert l’ipotesi nulla H0 e l’ipotesi H1 possono essere definite in questo modo.

  • H0- I decessi nell’ospedale sono avvenuti in modo del tutto stocastico e casuale; K. Gilbert è presumibilmente innocente.
  • H1-  I decessi seguono una certa logica che potrebbe essere legata ad un fattore esterno, forse la presenza di K. Gilbert. L’imputato è presumibilmente coinvolto.

Vediamo quindi che un test di ipotesi da solo non è in grado di dimostrare che l’imputata è colpevole, ma solo che potrebbe esserci un colpevole per l’eccesso di morti rispetto alla “normalità”.

Durante la sua deposizione al banco dei testimoni Gehlbach sottolineò appunto che “aver trovato una correlazione tra due eventi non implica che uno sia causa dell’altro”.

Cerchiamo quindi di capire meglio cos’è e come funziona un test di ipotesi con un esempio portato in tribunale dallo stesso Gehlbach.

Immaginiamo di dover lanciare una monetina e chiediamoci se l’esito, testa o croce, sia davvero casuale o se invece possa essere previsto. Cerchiamo, quindi, di capire se il comportamento della monetina è guidato dal caso (H0) o da qualche “trucco” (H1).

La probabilità di avere testa o croce dovrebbe essere ½ , e per verificarlo facciamo una serie di lanci. L’insieme dei risultati dei lanci si distribuirà più o meno omogeneamente seguendo un andamento normale o gaussiano (Figura 2) e in tal caso, se su 100 lanci avremo circa 50 testa e 50 croce, potremo affermare che la moneta non è truccata. Ma se ad esempio su 100 lanci dovessimo avere 100 testa, il nostro esito andrebbe oltre il “Valore Critico”, dentro la zona di rifiuto, e potremmo legittimamente iniziare a sospettare che la moneta abbia qualcosa che non va.

Una distribuzione gaussiana: µ è la media, se il nostro risultato sta nella zona più scura, diciamo che è compatibile con le attese, se cade nella zona più chiara iniziamo a insospettirci...
Una distribuzione gaussiana: µ è la media, se il nostro risultato sta nella zona più scura, diciamo che è compatibile con le attese, se cade nella zona più chiara iniziamo a insospettirci…

Per verificare H0 – ipotesi nulla o di casualità del lancio, ci si avvale di una quantità statistica chiamata p-value. Se questo numero è molto piccolo o abbiamo appena assistito a un evento estremamente raro, oppure l’ipotesi iniziale è sbagliata e la moneta è truccata.

In generale si tende a fare questo genere di analisi con un p-valuepiccolissimo di almeno 1 su 100 mila, in modo da escludere l’evento casuale e accettare H1.

Oltre a Gehlbach il giudice chiese al matematico George Cobb di fare lo stesso tipo di analisi, così da avere due pareri diversi. Cobb ottenne lo stesso risultato di Gehlbach e rigettò l’ipotesi nulla sulla presunta innocenza dell’infermiera, ma ci tenne a sottolineare un aspetto importante:

“Supponiamo che la Gilbert non sia colpevole, e che le morti si comportino in modo casuale come i lanci della monetina. Allora la probabilità di avere tanti morti durante i turni della Gilbert sarebbero meno di 1 su 100 milioni.

In altre parole se la Gilbert è innocente allora sarebbe quasi impossibile registrare tutti questi decessi. E fin qui le due affermazioni sono corrette, e si fa presto ad affermare che dati i morti eccessivi allora la probabilità che la Gilbert sia innocente sia minore di 1 su 100 milioni. Il che sarebbe sbagliato.” Questo genere di conclusione errata viene chiamata col nome di “Fallacia del persecutore” ed è un genere di conclusione affrettata a cui si può giungere in sede di processo.

Come lo stesso giudice Ponsor fece notare, questo test ci dice che le morti sono collegate all’infermiera, ma potrebbero essere causati da eventi accidentali come “l’esplosione di un bollitore” mentre la Gilbert era di turno. Per questo motivo l’analisi statistica fu tenuta in considerazione esclusivamente per l’apertura del caso, ma non fu impiegata come prova contro l’infermiera, in quanto non sufficiente a dimostrarne la colpevolezza.

Le prove vennero tuttavia alla luce (come ad esempio la massiccia riduzione delle scorte di epinefrina durante i suoi turni) e la giuria dichiarò Kristen Gilbert colpevole con 8 voti favorevoli alla pena di morte e 4 contrari. La non unanimità del voto decretò la condanna all’ergastolo dell’infermiera.

Queste analisi statistiche possono rivelarsi fondamentali anche in analisi di altri settori: dai test clinici sull’efficacia di nuovi medicinali, alle analisi sulla distribuzione di epidemie o di fattori genetici.

La matematica resta un potentissimo strumento ausiliare per la risoluzione dei crimini e se in Italia, oltre alle intercettazioni, si tenesse conto anche di aspetti più scientifici, chissà quante cose cambierebbero.

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